Astronomy & Science

Inside the March 2015 Issue

Sky&Telescope -


FCMarch2015-172pxBeyond the Edge

Spiral galaxies stun the viewer, yet they have even more visual power when serendipitously aligned to our line of sight. Ted Forte leads a tour of a variety of edge-on galaxies in March's cover story. Peering beyond the edge provides a different perspective on our solar system too. Further even than distant Pluto and its Kuiper Belt friends lies the mysterious Oort Cloud, a comet reservoir containing trillions of objects — only two of which have been detected so far. Scott S. Sheppard discusses the hunt for objects at the edge of the solar system. And Nola Taylor Redd writes about similar reservoirs around pulsars and other burnt-out stars too, perhaps forming phoenix planets that arise from stellar ashes. Finally, going from edge-on to cutting-edge: we also feature 14 must-have astronomy apps that you'll definitely want to download for your smart device.

Feature ArticlesNeedle Galaxy (NGC 4565)

Needle Galaxy (NGC 4565)Ken Crawford

Edge-On Galaxies
There's something special about these slender streaks of light and dust.
By Ted Forte

Beyond the Kuiper Belt
Many bodies likely lurk in the sprawling emptiness that fringes our solar system. Where are they, and how did they get there?
By Scott S. Sheppard

Phoenix Planets
The death of a star often has fatal consequences for orbiting planets. But for some worlds, the end of the stellar line could mean a brand-new start.
By Nola Taylor Redd

The Very Ancient Origins of the Water Constellations
Before written history began, Capricornus was likely a goat-boat and Aquarius was a god pouring water.
By Craig Crossen

App-Powered Astronomy
Noted amateur and professional astronomers share their 14 favorite celestial apps.
By Editors & Friends of Sky & Telescope

Beyond the Printed PageGeologic map of asteroid 4 Vesta

Vesta, mapped by Dawn
D. A. Williams & others / Icarus

App-Powered Astronomy by Monica Young
Find links to the must-have astronomy apps listed in this issue.

Explore Vesta
View Dawn's high-res map of the asteroid it circled for more than a year.

Mutual Events Among Jupiter's Moons
Find out how to watch Jovian moons eclipse and occult one another.

Lunar Librations by Sean Walker
Librations and other lunar data for March 2015.

ALSO IN THIS ISSUEVenus in ultraviolet and infrared, May 20, 2007

Venus, by Sky & Telescope's Sean Walker

Venus Rises, Mars Lowers
Venus and Jupiter move higher as Mars sinks from view.
By Fred Schaaf

Powering Up
Choose the right magnification for your planetary observing experience.
By Thomas A. Dobbins

iOptron's SkyGuider
Here's a sturdy camera tracker for nightscape photographers on the go.
By Jerry Lodriguss

Table of Contents
See what else March's issue has to offer.

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Eta Carinae’s Throbbing X-ray Pulse

Sky&Telescope -

When the massive, unstable southern star Eta Carinae sent a blast of X-rays into space last July, astronomers around the world were waiting and watching.

Winston Churchill once famously said of Russia, "It is a riddle, wrapped in a mystery, inside an enigma." But he might just as well have been describing Eta Carinae, a star whose antics have baffled astronomers for 1½ centuries.

Eta Carinae

The hourglass-shaped Homunculus Nebula is the expanding shell of matter ejected by the supermassive binary star Eta Carinae in the 1840s. The shell is so dense that the stars themselves are invisible, even though the primary shines with the energy of 5 million Suns.

Embedded in the lovely Carina Nebula, one of the great observing gems of the far-southern sky, Eta Carinae is the most massive, most luminous star within 10,000 light-years of us. (It's 7,500 light-years distant.) Astronomers now believe it's actually a binary star whose gigantic primary has roughly 90 times the Sun's mass and outshines it by 5 million times. Less is known about the secondary, but it too is thought to be enormous, with perhaps 30 solar masses and a million times the Sun's luminosity.

Eta Carinae erupted violently in 1843, ejecting perhaps 10 Sun's worth of mass — a truly titanic blast that would have destroyed a lesser star. — that it briefly became the second-brightest star in the night sky. Today astronomers see the results of that outburst as an expanding two-lobed shell called the Homunculus Nebula.

More recently, space observatories found that Eta Carinae creates strong X-ray outbursts every 5½ years. This happens, it seems, whenever the paired stars are closest in their highly elongated orbit.

Jousting Stellar Winds

These periodic encounters are not just hi-and-bye affairs. It's more a clash of the titans. The larger (A) star's extreme luminosity is driving dense stellar winds that carry off a Jupiter's worth of mass every year at roughly 400 km (250 miles) per second. The secondary also creates an intense outflow, one that's less dense yet has six times higher velocity.

Eta Carinae simulation

Every 5½ years, Eta Carinae's two massive stars come within about 1½ astronomical units of each other, triggering a blast of X-ray emission.
NASA / Goddard Space Flight Center / T. Madura

Computer simulations by Thomas Madura (NASA Goddard Space Flight Center) and others suggest that the secondary's flow carves out a cavity in the primary's slower, denser wind — much as a moving boat creates a wake around it. Nothing much happens when the two stars are widely separated.

But when closest to each other, at periastron, these monstrous stars are only about 225 million km (140 million miles) apart — roughly Mars's distance from the Sun. The two flows collide violently, creating a shock boundary that heats the gas to tens of millions of degrees — hot enough to generate a torrent of X-rays that build gradually over many months and then drop off precipitously as the stars start to separate.

NASA's Swift spacecraft captured the most recent X-ray flareup last July, and it was stronger than previous outbursts recorded in 1995, 2003, and 2009 by the Rossi X-ray Timing Explorer. Moreover, the tailing off of the emission spike was different too. One of the winds must have changed over time — but which?

Fortunately, observers could sort it out using a blue-light emission from ionized helium at 468.6 nanometers. As Mairan Teodoro (Western Michigan University) explains, the X-rays are produced on the side of the shock zone nearest the secondary. But the helium emission comes from the primary's dense slow wind — a crucial difference

At last week's meeting of American Astronomical Society, Teodoro presented 22 years of spectroscopic observations of Eta Carinae gathered using a worldwide network of telescopes. (Amateurs played a crucial role in this campaign, by the way.) He says that the helium emission, first noted during 2003's periastron, has been steady to within about 20%. So the varying X-ray flux must be due to changes in the secondary star and its high-speed wind.

Frankly, astronomers know very little about the secondary; even its mass is something of a guesstimate. As Madura concedes, "We actually still don't know what the secondary star is, and that's one of the reasons why we're doing all this work." In fact, a big question mark remains about the 1843 eruption. "Everyone thinks it's the more massive star that through off the mass [in 1843] to form the Homunculus Nebula," he says, "but to be honest we don't even know which star had the eruption."

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How To Use World Wide Telescope

Sky&Telescope -

The WorldWide Telescope (WWT), featured in the April 2015 issue of Sky & Telescope, isn't just another piece of planetarium software. Its incredible breadth and depth of data allow users to explore the universe in an interactive way.

Coauthors Curtis Wong (Microsoft Research) and Alyssa Goodman (Harvard University and Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics) teamed up at a 2005 astronomy visualization conference, and what started as a childhood dream can now be seen on planetarium screens across the country and even on Oculus Rift, a much-hyped virtual-reality headset. Commander Chris Hadfield got a chance to try it out at a 2014 TED conference, floating outside the International Space Station (again).

Here, we give resources for users interested in using WWT, whether it be for personal use, research pursuits, or astronomy outreach.

Using WorldWide Telescope

WorldWide Telescope is free to download as a Windows application or access via a web client. This WorldWide Telescope tutorial, also available as a Guided Tour within WWT, provides a basic overview of the software's features:

Researching with WorldWide Telescope

NASA's Astrophysics Data System (ADS) is the font of almost all astronomical literature published since the 19th century. WorldWide Telescope makes that immense repository available as a "heatmap", basically an atlas that shows every source on the sky with published data and analysis. Researchers can use the ADS All-Sky Survey in WorldWide Telescope to put their sources in context of the sky and fade between datasets at different wavelengths.

Astronomy Outreach with WorldWide Telescope

The WorldWide Telescope Ambassadors Program provides K-12 lesson plans and PhD-level volunteers (in certain locations) who go to schools, answer students' questions, and help them dig deeper into the night sky. Interested in helping out? Contact WWTA to find out how you can get involved.

Learn more about how WWT is used in all its facets at WorldWide Telescope Stories.


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This Week’s Sky at a Glance, January 16 – 24

Sky&Telescope -

Some daily sky sights among the ever-changing Moon, planets, and stars.Comet Lovejoy imaged on December 30th by Alan Tough in Australia.

Comet Lovejoy as imaged on December 30th by Alan Tough using a 4-inch f/5 refractor.

Comet Lovejoy is still at its predicted brightest this week, and it's high in the evening sky with no Moon yet. The comet is glowing at about 4th magnitude more or less west of the Pleiades. It's very obvious in binoculars, and it's dimly visible to the unaided eye if you have a very good dark sky. Article and finder chart: See Comet Lovejoy Tonight.

Friday, January 16

Venus and Mercury in twilight Jan. 17, 2015

Early this week, Mercury is still fairly easy to pick up as it moves away to the right of Venus.

Crescent Moon with Venus, Mercury, and Mars on Jan 21 - 23, 2015

Mercury has dropped away and faded greatly by the time the waxing crescent Moon enters the twilight scene. (The Moon, shown three times actual size, is plotted for a viewer near the middle of North America. The visibility of faint objects in bright twilight, such as Mercury, is exaggerated.)

Bright Capella high overhead, and bright Rigel in Orion's foot, are at almost the same right ascension — so they cross your sky’s meridian at almost the same time (around 9:30 p.m., depending on how far east or west you live in your time zone). So whenever Capella passes its very highest, Rigel marks true south over your landscape. Both shine brilliantly at zero magnitude.

(Capella goes exactly through your zenith if you're at latitude 46° north: for instance Portland, Oregon; Montreal; central France; Tokyo.)

Saturday, January 17

Comet Lovejoy is 8° west-southwest of the Pleiades this evening and tomorrow evening. Finder charts and photos.

Sirius twinkles brightly after dinnertime below Orion this week. Around 8 or 9 p.m., depending on your date and location, Sirius shines precisely below fiery Betelgeuse in Orion's shoulder. How accurately can you time this event for your site, perhaps using a plumb bob or the edge of a building? Sirius leads Betelgeuse early in the evening; Betelgeuse leads later. Welcome to pre-telescopic astronomy.

Sunday, January 18

Orion shines high in the southeast in early evening now. Orion is the showiest constellation, but his main pattern is surprisingly small compared to some of his dimmer neighbors. The biggest of these is Eridanus the River, enormous but hard to trace. Dimmer Fornax the Furnace, to Eridanus's lower right, is almost as big as Orion. Even the main pattern of Lepus, the Hare cowering under Orion's feet, isn't much smaller than Orion's main pattern.

Monday, January 19

In the next few days, an extremely rare and improbable self-eclipse by the double star Alpha Comae Berenices should get under way. The star is normally magnitude 4.3. For less than a day it might dim enough for the change to be detectable just by eye, and a worldwide observing campaign is under way. Coma is well up after midnight. See the "Vigil for a Unique Stellar Eclipse," with a comparison-star chart, in the January Sky & Telescope, page 50.

Tuesday, January 20

Gemini shines high in the east these evenings, off to the left of Orion. In Gemini's center lies R Geminorum, a red long-period variable star sporting the rare elements zirconium and technetium. R Gem is brightening toward a February maximum. As of January 14th it was already magnitude 7.0 ahead of schedule. See the article, photo, and finder chart in the January Sky & Telescope, page 51.

New Moon (exact at 8:14 a.m. Eastern Standard Time).

Wednesday, January 21

Look low in the west shortly after sunset for the thin crescent Moon forming a triangle with Venus and fainter Mercury, as shown above (for North America). Bring binoculars.

Thursday, January 22

The waxing crescent Moon now shines well above Venus and to the right of Mars, as shown above.

Mutual event among Jupiter's moons. Early on Friday morning, from 4:06 to 4:20 a.m. EST, Callisto casts its shadow onto its neighbor moon Ganymede, dimming Ganymede by an obvious 1.4 magnitudes around the middle of that time. Ganymede is normally the brightest of Jupiter's four big moons. Even with just a small telescope, you can watch it briefly become a trace fainter than Callisto, which normally is the faintest. Ganymede, Callisto, and Europa will all appear close together.

Friday, January 23

The Moon, dim Mars, and bright Venus form a big diagonal line in the west in twilight, as shown above. And can you still detect Mercury? It's been fading fast day by day.

Three shadows on Jupiter. Late tonight Callisto, Io, and Europa are all casting their tiny black shadows onto Jupiter at once, from 1:27 to 1:52 a.m. Saturday morning EST (10:27 to 10 52 p.m. Friday evening PST). Then all three satellites themselves appear in front of Jupiter at once (and hence are practically invisible) from 2:08 to 2:12 a.m. EST.

Saturday, January 24

Every week, brilliant Sirius, the Dog Star, glitters higher in the southeast after dinnertime. Look high above it for Betelgeuse in Orion's shoulder, shining reddish-orange. To their left is Procyon, the Little Dog Star, forming the equilateral Winter Triangle with them. Sirius, Betelgeuse, and Procyon are 8.6, 500, and 11.5 light-years away, respectively. Here's some starwatching you can do through even the worst city light pollution.

Want to become a better astronomer? Learn your way around the constellations. They're the key to locating everything fainter and deeper to hunt with binoculars or a telescope.

This is an outdoor nature hobby; for an easy-to-use constellation guide covering the whole evening sky, use the big monthly map in the center of each issue of Sky & Telescope, the essential guide to astronomy. Or download our free Getting Started in Astronomy booklet (which only has bimonthly maps).

Pocket Sky Atlas

The Pocket Sky Atlas plots 30,796 stars to magnitude 7.6 — which may sound like a lot, but it's still less than one per square degree on the sky. Also plotted are many hundreds of telescopic galaxies, star clusters, and nebulae.

Once you get a telescope, to put it to good use you'll need a detailed, large-scale sky atlas (set of charts). The standards are the little Pocket Sky Atlas, which shows stars to magnitude 7.6; the larger and deeper Sky Atlas 2000.0 (stars to magnitude 8.5); and once you know your way around, the even larger Uranometria 2000.0 (stars to magnitude 9.75). And read how to use sky charts with a telescope.

You'll also want a good deep-sky guidebook, such as Sue French's Deep-Sky Wonders collection (which includes its own charts), Sky Atlas 2000.0 Companion by Strong and Sinnott, the bigger Night Sky Observer's Guide by Kepple and Sanner, or the beloved if dated Burnham's Celestial Handbook.

Can a computerized telescope replace charts? Not for beginners, I don't think, and not on mounts and tripods that are less than top-quality mechanically (able to point with better than 0.2° repeatability, which means fairly heavy and expensive). As Terence Dickinson and Alan Dyer say in their Backyard Astronomer's Guide, "A full appreciation of the universe cannot come without developing the skills to find things in the sky and understanding how the sky works. This knowledge comes only by spending time under the stars with star maps in hand."

This Week's Planet Roundup

Mercury is coming off its close pairing with Venus. Look for them in low the southwest in the afterglow of sunset. Venus is by far the most obvious, shining at magnitude –3.9. On Friday the 16th Mercury is still just 2.2° to Venus's lower right, and still magnitude –0.5. But Mercury fades rapidly day by day, while falling away farther to the lower right. By week's end it's essentially gone.

Mars (magnitude +1.2, in Aquarius) continues to glow in the southwest at dusk, to Venus's upper left. It still sets around 8 p.m.

Jupiter on Dec. 27, 2014

Jupiter's Great Red Spot had just come around into view when S&T's Sean Walker took this image at 5:48 December 27th UT, using a 12.5-inch reflector. South is upper left. On the central meridian in the south is dark-rimmed Oval BA, called Red Spot Junior, "paler than in previous years" he notes. The northern side of the bright Equatorial Zone sports prominent bluish festoons.

Jupiter (magnitude –2.5, in western Leo) rises around 6 or 7 p.m in the east-northeast. Nearly an hour later, fainter Regulus (magnitude +1.4) rises below it. By 9 p.m. They're shining high in the east.

Saturn (magnitude +0.5, at the head of Scorpius) glows in the southeast before and during dawn. Look about 1.3° below it, a little-finger-width at arm's length, for Beta Scorpii, magnitude 2.5, a showpiece double star for telescopes. Below them by 10°, look for orange Antares.

Uranus (magnitude 5.8, in Pisces) is still in the southwest right after dusk.

Neptune (magnitude 7.9, in Aquarius) is sinking down into the evening twilight, in the background of Mars.


All descriptions that relate to your horizon — including the words up, down, right, and left — are written for the world's mid-northern latitudes. Descriptions that also depend on longitude (mainly Moon positions) are for North America.

Eastern Standard Time (EST) is Universal Time (UT, UTC, or GMT) minus 5 hours.

“This adventure is made possible by generations of searchers strictly adhering to a simple set of rules. Test ideas by experiments and observations. Build on those ideas that pass the test. Reject the ones that fail. Follow the evidence wherever it leads, and question everything. Accept these terms, and the cosmos is yours.”

— Neil deGrasse Tyson, 2014.

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Los Discorsi de Galileo - Primer día (IV)

eltamiz -

Seguimos hoy nuestra conversación con Salviati, Sagredo y Simplicio en la traducción comentada de los Discorsi de Galileo, publicados en 1638. Es absurdo leer esto sin empezar desde el principio, de modo que si no sabes de qué va el asunto, te recomiendo la presentación para que sigas desde allí.

Habíamos dejado a los tres amigos discutiendo sobre la posibilidad de que la materia contuviese un número infinito de espacios vacíos en un volumen finito. La cuestión del infinito es tela marinera hoy en día, y lo era mucho más en el siglo XVII, cuando nuestras Matemáticas aún no le habían hincado el diente de veras.

Pero ése es uno de los encantos del libro de Galileo: el italiano ataca los problemas con agudeza, pero sin una base teórica, con la misma ingenuidad que un niño. Eso sí, un niño con una inteligencia privilegiada, claro, con lo que incluso cuando no llega a conclusiones correctas es una delicia pensar con él.

Dejo, como siempre, la última intervención del pasado diálogo para continuar hoy:

Salviati – De otro modo, ¿qué? Ya que hemos alcanzado una paradoja, veamos si podemos demostrar que es posible encontrar un número infinito de vacíos en un volumen finito. Al mismo tiempo intentaremos al menos alcanzar una solución al más notable de todos los problemas que el propio Aristóteles llama maravillosos; me refiero a sus Preguntas de Mecánica. Esta solución no puede ser menos clara y contundente que la que él mismo da, y también muy diferente de la tan claramente expuesta por el sapientísimo Monsignor di Guevara.

En primer lugar es necesario considerar una idea, no explorada por otros, pero de la que depende la solución al problema y de la que, si no estoy equivocado, extraeremos otras conclusiones nuevas y notables. Para mayor claridad, dibujemos una figura precisa. Tomando G como centro, describamos un polígono equiangular y equilátero de cualquier número de lados, por ejemplo el hexágono ABCDEF.

La figura en cuestión, que Galileo utilizará durante un buen rato, se las trae: tiene muchos puntos y se hablará de ella varias veces. Pero no te preocupes, échale un vistazo y luego reproduciré las partes relevantes de nuevo según nos hagan falta, para que no tengas que ir y volver constantemente.

Figura 5.

Dibujemos un segundo polígono más pequeño similar a él y de menor tamaño, HIKLMN. Prolonguemos el lado AB del hexágono mayor indefinidamente hacia S; del mismo modo, prolonguemos el lado correspondiente del hexágono menor, HI, en la misma dirección, de manera que la línea HT es paralela a AS. Y tracemos la línea GV que pasa por el centro y es paralela a las otras dos.

Por ahora puedes olvidarte de las circunferencias de abajo. En la parte de arriba, aunque todo suene como un trabalenguas, Salviati propone básicamente dos cosas:

  • Dos hexágonos regulares concéntricos, uno grande (ABCDEF) y otro más pequeño (HIKLMN). No importa el tamaño de ambos mientras uno sea mayor que el otro.

  • Tres líneas rectas paralelas entre sí: una es la prolongación del lado inferior AB del hexágono grande, otra es la prolongación del lado HI del pequeño, y la tercera es la recta paralela a ambas que pasa por el centro de ambos hexágonos (que es el mismo, claro, porque son concéntricos).

Una vez hecho esto, imaginemos que el polígono más grande rueda sobre la línea AS, llevando consigo al polígono más pequeño. Resulta evidente que si el punto B –el extremo del lado AB– se mantiene fijo desde el inicio de la rotación, el punto A subirá y el punto C caerá siguiendo el arco CQ, hasta que el lado BC coincida con la línea BQ, de igual tamaño que BC.

Si imaginas los dos hexágonos como si fuera una rueda de madera de forma hexagonal, donde el hexágono pequeño es el hueco de la rueda, lo que propone Galileo (quiero decir, Salviati) es precisamente hacerla rodar. Evidentemente no es una rueda circular, sino hexagonal, de modo que el giro no es suave, pero eso ahora da igual: el objetivo es que gire “un paso”.

Al tratarse de un hexágono regular, tras girar 60º la rueda volverá a reposar sobre uno de sus lados: en vez de AB como antes, ahora será BC. Durante ese giro, B ha permanecido “en el suelo”, mientras que A ha subido recorriendo un arco, y C ha bajado recorriendo otro, hasta llegar al “suelo”. En el dibujo, C ahora está en Q, de modo que la base del hexágono girado es BQ, que mide, por supuesto, igual que AB.

El siguiente fragmento puede volver a sonar como un trabalenguas, pero básicamente es la misma descripción de lo que le pasa al hexágono menor (el “hueco” de la rueda):

Pero durante esta rotación el punto I del polígono más pequeño subirá por encima de la línea IT, porque IB es oblicuo a AS; y no volverá a la línea IT hasta que el punto C haya alcanzado la posición Q. El punto I, una vez ha descrito el arco IO sobre la línea HT, alcanzará la posición O al mismo tiempo que el lado IK se sitúa en OP; pero al mismo tiempo el centro G ha recorrido una trayectoria sobre GV y no vuelve a esa línea hasta haber completado el arco GC.

Una vez dado este paso, el polígono más grande descansará con su lado BC sobre la línea BQ, mientras que el lado IK del polígono menor coincide con el segmento OP, y ha pasado sobre el segmento IO sin tocarlo; además, el centro G habrá alcanzado la posición C tras haber recorrido todo su camino sobre la línea paralela GV.

Finalmente, la figura entera tendrá una posición similar a la inicial, de modo que si continuamos la rotación y damos el siguiente paso, el lado DC del polígono mayor coincidirá con el segmento QX y el lado KL del polígono menor, habiendo recorrido el arco PY, caerá sobre YZ, mientras que el centro, siempre sobre la línea GV, volverá a ella en R tras haber recorrido el arco CR.

Como ves, el último párrafo es una descripción de lo mismo pero para el segundo “paso”. Si damos seis pasos como estos, nuestra rueda hexagonal habrá completado una revolución y se encontrará de nuevo con el lado AB sobre el suelo, como empezó:

Tras una rotación completa el polígono mayor habrá trazado sobre la línea AS, de manera continua, seis segmentos cuya suma será igual a su perímetro; el polígono menor habrá trazado igualmente seis segmentos en total iguales a su perímetro, pero separados por la interposición de cinco arcos cuyas cuerdas representan las partes de HT que no han sido tocadas por el polígono: el centro G sólo toca la línea GV en seis puntos.

Claro, los lados del polígono mayor se han ido apoyando todos en el suelo de manera continua, pero como el centro de giro sobre el suelo es el vértice del hexágono mayor, el pequeño va dando pequeños “saltitos” y cada lado se apoya dejando un hueco con el anterior. He marcado en rojo las zonas de apoyo de los lados del hexágono pequeño:

Hexágono y huecos

De todo esto se deduce que el espacio recorrido por el polígono menor es casi igual que el del mayor, es decir, el segmento HT es similar al segmento AS, y difiere de él únicamente por la longitud de la cuerda de uno de estos arcos, suponiendo que la línea HT incluye los cinco arcos saltados.

He marcado en rojo el segmento HT descrito por el hexágono pequeño, en verde el AS descrito por el grande, y en azul la diferencia entre ambos, que es uno solo de los pequeños “saltos” que ha dado el hexágono menor en su giro:

Hexágono y segmentos

Pero evidentemente Galileo no está interesado sólo en los hexágonos. Parte de su genio es que, para atacar un problema difícil de asimilar, como otros antes que él –los griegos eran magníficos en esto– empieza con un problema más asequible para, gradualmente, acercarse al que realmente le interesa.

Ahora bien, esta explicación que he dado en el caso de los hexágonos también se aplica a todos los demás polígonos, independientemente del número de lados, siempre que sean similares, concéntricos y conectados de manera rígida, de modo que cuando el de mayor tamaño rota el menor también lo hace, por pequeño que sea.

También debéis comprender que las líneas descritas por estos dos son casi iguales siempre que incluyamos en el espacio recorrido por el más pequeño los intervalos que no son tocados por ningún punto del perímetro de ese mismo polígono menor.

Es decir, a partir de la situación sencilla –los hexágonos–, el italiano generaliza. Pero, por si no entendemos aún la generalización, nos lo aclara con otro ejemplo.

Supongamos que un polígono mayor de, por ejemplo, mil caras, realiza una rotación completa, y por tanto traza un segmento igual a su perímetro; al mismo tiempo, el más pequeño recorrerá una distancia aproximadamente igual, compuesta de mil partes más pequeñas, cada una igual a uno de sus lados pero intercaladas con otros mil segmentos que, en contraste con las porciones que coinciden con los lados del polígono, podemos denominar “vacías”. Hasta ahora el asunto está libre de dificultad o duda.

La clave de la cuestión, como veremos en un momento, está en lo siguiente: en el caso del hexágono menor, dejaba seis segmentos sin tocar de la recta horizontal: los que hay entre los segmentos rojos. Pero el polígono de mil lados dejará mil segmentos, los equivalentes a cada “salto” que da el polígono… pero son segmentos huecos mucho más pequeños que antes. Es decir, el número de huecos aumenta con el número de lados, pero el tamaño de cada hueco disminuye.

Supongo que ya te imaginas hacia dónde va Salviati: polígonos de seis lados, polígonos de mil lados… pero, al fin y al cabo, una manera de definir una circunferencia es como un polígono regular de infinitos lados. ¿Qué sucederá entonces?

Pero ahora supongamos que alrededor de cualquier centro, llamémoslo A, describimos dos circunferencias concéntricas y conectadas de manera rígida; y supongamos que desde los puntos C y D sobre sus radios trazamos las tangentes CE y BF, y que a través del centro A se traza la línea AD paralela a ellas. Entonces si el círculo mayor realiza una rotación completa sobre la línea BF, igual no sólo a su circunferencia sino también a las otras dos líneas CE y AD, decidme qué harán el círculo menor y su centro.

Es decir, exactamente lo mismo de antes: las tres líneas horizontales son las equivalentes a las anteriores, y en vez de hexágonos mayor y menor (o polígonos de muchos lados, mayor y menor) ahora tenemos una rueda de verdad, compuesta por dos circunferencias concéntricas.

El centro viajará en contacto siempre con la línea AD, mientras que la circunferencia del círculo menor trazará por sus puntos de contacto toda la línea CE, como sucedía con los polígonos de antes. La única diferencia es que la línea HT no estaba siempre en contacto con el perímetro del polígono menor, sino que se dejaban sin tocar tantos segmentos como los que coincidían con los lados. Pero en el caso de los círculos, la circunferencia del más pequeño nunca abandona la línea CE, de modo que ningún segmento de ésta queda sin ser tocado por el círculo, y nunca hay un momento en el que algún punto del círculo deje de tocar la línea recta. Pero ¿cómo puede el círculo menor trazar una longitud mayor que su propia circunferencia si no lo hace a saltos?

Dicho de otro modo: en el primer ejemplo de todos, el hexágono menor recorría una distancia sobre la recta horizontal mayor que su perímetro. Pero no había truco: lo hacía porque daba saltos, de manera que iba dejando huecos a su paso y sólo se apoyaba sobre ciertas secciones de la recta. Al sumar los segmentos sobre los que se apoyaba, el resultado era, naturalmente, el perímetro del hexágono.

Pero ahora, ¿qué tamaño tienen los huecos que deja la circunferencia menor en su giro? ¡Ninguno! De modo que, ¿cómo es posible que, dejando huecos de tamaño nulo, la circunferencia menor recorra sobre la recta una distancia más larga que su propio perímetro? Hay algo que no encaja: ese algo es, por supuesto, el concepto de infinito, que lleva a paradojas como ésta. Pero el italiano sigue examinando la cuestión con cuidado.

En este caso, lo hace con la intervención de Sagredo, que actúa, como pasa a menudo, como la voz del lector:

Sagredo – Me parece que podríamos decir que lo mismo que el centro del círculo, al moverse a lo largo de la línea AD, se mantiene siempre en contacto con ella a pesar de ser un único punto, los puntos de la circunferencia del círculo menor, acompañando al movimiento del círculo mayor, se deslizarían sobre algunas pequeñas secciones de la línea CE.

Salviati – Hay dos razones por las que eso no puede suceder. La primera es que no hay base para pensar que un punto de contacto, como C, y no otro, se deslizará sobre algunas porciones de la línea CE. Por el contrario, si se produjeran deslizamientos así sobre la línea CE deberían ser infinitos en número, ya que los puntos de contacto –siendo simples puntos– son infinitos: un número infinito de deslizamientos infinitos, sin embargo, producirá una línea infinitamente larga, mientras que de hecho la línea CE es finita.

La clave de la cuestión está en lo de un número infinito de deslizamientos infinitos, claro. Una de esas dos cosas no puede ser verdad.

La otra razón es que según el círculo mayor, en su rotación, cambia su punto de contacto de manera continua, el círculo menor debe hacer lo mismo, ya que B es el único punto desde el cual puede trazarse una línea recta hasta A que pase por C. Por lo tanto, el círculo pequeño debe cambiar su punto de contacto cuando lo hace el grande: ningún punto del círculo menor toca la línea recta CE en más de un punto. No sólo esto, sino que incluso en la rotación de los polígonos nunca había un punto del perímetro del polígono menor que coincidiese con más de un punto de la línea recorrida por ese perímetro; esto resulta claro si recordamos que la línea IK es paralela a BC, y que por lo tanto IK siempre se mantendrá sobre IP hasta que BC coincida con BQ, y que IK nunca se encontrará con IP excepto en el instante en el que BC ocupa la posición BQ; en ese momento la línea IK completa coincide con IP e inmediatamente después se eleva sobre ella.

Sagredo – Se trata de un problema muy difícil. No veo ninguna solución. Por favor, explícanos cuál es.

Salviati – Volvamos a pensar en los polígonos de antes, cuyo comportamiento ya entendemos. En el caso de polígonos de 100 000 lados, la línea recorrida por el perímetro del mayor, es decir, la línea descrita por sus 100 000 lados uno tras otro, es igual a la línea trazada por los 100 000 lados del pequeño, si incluimos allí los 100 000 espacios vacíos intercalados. Por lo tanto, en el caso de las circunferencias, que son polígonos con un número infinito de lados, la línea descrita por los lados infinitos de la circunferencia más grande es igual a la descrita por los lados infinitos de la circunferencia menor, con la excepción de que éstos se alternan con espacios vacíos; y ya que los lados no son finitos en número, sino infinitos, también lo serán los espacios vacíos intercalados.

La línea descrita por la circunferencia mayor consistirá pues en un número infinito de puntos que la llenan completamente; mientras que la trazada por la circunferencia menor consiste en un número infinito de puntos que dejan espacios vacíos y llenan la línea sólo parcialmente. Y aquí me gustaría que os fijáseis en que, tras dividir y resolver la línea en un número finito de partes, es decir, un número que puede ser contado, no es posible volver a disponer esas partes de modo que tengan una longitud mayor que cuando constituían un continuo y estaban conectadas sin espacios vacíos intercalados en igual número.

Pero si consideramos la línea dividida en un número infinito de partes infinitamente pequeñas e indivisibles, podremos concebir la línea como de una longitud infinita por la interposición de un número no finito, sino infinito, de espacios vacíos infinitamente pequeños e indivisibles.

En otras palabras, los huecos dejados por la circunferencia menor –y debe haberlos, ya que cada punto de ella sólo toca la recta en la que se apoya en un punto, de acuerdo con Galileo– son infinitos, pero de un tamaño infinitamente pequeño. Y el resultado de sumar infinitos huecos infinitamente pequeños puede ser un número finito – en términos más modernos, se trata de una indeterminación (infinitos huecos multiplicados por un tamaño nulo).

Aunque el ejemplo haya sido largo, y puede no estar clara la conclusión a la que llega Galileo, en mi opinión es algo así: al considerar una línea recta como un conjunto de infinitos puntos de tamaño infinitamente pequeño, es posible cambiar la longitud de la recta intercalando en ella un número infinito de espacios vacíos, una vez más de tamaño infinitamente pequeño. Así se resuelve la contradicción aparente entre las rectas trazadas por la circunferencia grande y la pequeña.

El problema del italiano es que su concepción microscópica de la materia es demasiado “matemática”, y eso lo lleva a error. Es cierto que, matemáticamente hablando, una recta consta de infinitos puntos, pero en el mundo físico las cosas no etán formadas por infinitas partículas infinitamente pequeñas; sin embargo, Galileo lleva la concepción matemática a la realidad:

Ahora bien, esto que acabamos de decir sobre líneas simples debe también ser cierto en el caso de superficies y cuerpos sólidos, ya que suponemos que están formados por un número infinito, y no finito, de átomos. Un cuerpo así dividido en un número finito de partes no puede ser reconstruido de modo que ocupe más espacio que antes salvo que interpongamos un número finito de espacios vacíos, es decir, espacios libres de la sustancia que compone el sólido.

Pero si imaginamos que el cuerpo, por algún sistema de análisis extremo y definitivo, se divide en las partes elementales que lo constituyen, de número infinito, entonces podremos pensar en ellas como algo extendido infinitamente por el espacio, no por la interposición de un número finito, sino infinito, de espacios vacíos. Así, uno puede imaginar fácilmente una pequeña esfera de oro expandida a un volumen enorme sin introducir un número finito de espacios vacíos, siempre que supongamos que el oro está formado por un número infinito de partes indivisibles.

Como digo, esto no es cierto: la materia está formada por un número descomunal de partículas minúsculas, pero ni son infinitamente pequeñas, ni hay un número infinito de ellas. Lo que sí es cierto, y muestra una vez más la agudeza de Galileo, es el hecho de que la mayor parte del volumen de la materia está vacío: la masa ocupa realmente una porción minúscula de ese volumen. Pero la concepción no es galileana, aunque sí lo sea el rigor del argumento y los ejemplos con límites. El atomismo fue algo ya propuesto por varios filósofos griegos, por ejemplo.

Donde el italiano va más allá es en la mezcla de matemáticas y física, como es su legado. En este caso, aunque su conclusión fuera errónea, Galileo puso en el foco de atención el hecho de que al llevar las cosas hacia el infinito todo se vuelve raro: es posible, por ejemplo, convertir una línea más corta en otra más larga añadiendo segmentos de longitud infinitamente pequeña, por ejemplo. Pero esta noción le parece tan compleja –porque lo es– que le dedicará más tiempo, y de hecho seguiremos con ella en la siguiente parte de los Discorsi.

Simplicio – Me da la impresión de que te estás aproximando a los vacíos propuestos por cierto filósofo de la Antigüedad.

Salviati – Pero debes añadir, “… que negaba la existencia de la Divina Providencia”, un comentario inadecuado que, en una situación similar, realizó cierto antagonista de nuestro Académico.

Simplicio – He percibido, y no sin indignación, el rencor de este oponente desabrido; omitiré cualquier otra mención de estos asuntos, no sólo por educación, sino porque sé lo desagradables que son para alguien de temperamento gentil y mente ordenada, además de religioso y piadoso, como tú.

Creo que el filósofo de la Antigüedad al que se refiere Simplicio es Herón de Alejandría: era un atomista, pero además sostenía que entre los átomos hay vacíos minúsculos y la materia no es, por tanto, tan sólida como parece. Así es posible comprimir o expandir algo, y así es posible que el fuego entre en los cuerpos.

El resto, desgraciadamente, me parece simplemente una autodefensa del propio Galileo contra algunos de sus críticos (recuerda que el Académico del que habla el libro es siempre él mismo, aunque no participe en los diálogos).

Pero, para volver a nuestro tema de conversación, tu explicación anterior me deja con muchas dudas que no sé resolver. La primera de ellas es que, si las longitudes de ambas circunferencias son iguales a los dos segmentos CE y BF, de los cuales el segnudo es un continuo y el primero está interrumpido por una infinidad de puntos vacíos, no veo cómo es posible decir que la línea AD descrita por el centro y compuesta por infinidad de puntos es igual a este centro, que es un único punto. Además, esta construcción de segmentos a partir de puntos, divisibles a partir de indivisibles, y finitos a partir de infinitos, me produce una duda muy difícil de evitar; y la necesidad de introducir un vacío, tan concluyentemente refutado por Aristóteles, me supone un obstáculo similar.

Los dos problemas básicos de Simplicio son, por tanto, la dificultad de asimilar infinitésimos y el propio infinito, y una vez más el horror vacui aristotélico, es decir, la tradición anterior a Galileo. El italiano muestra estos obstáculos a propósito, claro está, para luego superarlos a través de Salviati.

Salviati – Estos obstáculos son reales, y no son los únicos. Pero recordemos que estamos tratando con infinitos e indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros por su enormidad y los segundos por su pequeñez. A pesar de esto los hombres no pueden evitar discutir sobre ellos, incluso si deben hacerlo con rodeos.

Y de ellos discutiremos en la continuación de estos Discorsi, por supuesto… ¡hasta entonces!

Are You Game for a Dawn Conjunction?

Sky&Telescope -

Are you going to let the cold and early hour stop you from seeing Saturn's meeting with the Moon Friday morning? Of course not! 

The early bird gets an eyeful this Friday

Dawn observing can be cold and require more fortitude than evening skywatching.
Bob King

The bed's so warm, the hour so early. Will you brave the cold Friday morning to witness the conjunction of Saturn and the waning Moon? Allow me to be the little devil guy on your shoulder whispering "yes, do it!" in your ear.

Morning observing, especially in winter, can feel like a lonely solo climb. But I've found that once you've poked a leg out from under the covers and rubbed your eyes, you're halfway there. Don't forget to pull the curtain aside to make sure it's clear.

What better way to welcome Saturn back for its 2015 apparition than in the company of the slender Moon. Admit it, you're hungry to see those gorgeous rings that make the planet such a special destination.

If that wasn't enough, how many of us get to see a thick waning crescent Moon in our telescopes? Since I spend far more evenings observing the sky, the lay of the lunar landscape looks strangely unfamiliar during the waning phases. The shadows seem wrong in the same disorienting way as when we see the northern stars "upside down" from the southern hemisphere.

Welcome Saturn back Friday morning!

The waning crescent, four days from new, will pass only 1° north of Saturn at the start of morning twilight across North America Friday morning, January 16th. Look for the pair low in the southeastern sky 1-2 hours before sunrise.
Source: Stellarium

Saturn's wide-open rings a jaw-dropping sight

Saturn and its brightest moons around 6:30 a.m. (CST) Friday morning.The rings are tilted 24.7° this month, near their maximum.
Source: Stellarium

Lunar libration will have tilted a unique feature our way on Friday — Mare Orientale, a huge (mostly) farside multi-ringed impact basin that looks like a cosmic bulls-eye. Moats of mare lavas separating the concentric rings show as a series of dark, parallel stripes just inside the Moon's western edge. Look for them.

A bullseye basin, volcanic domes and lava-flooded crater highlight Friday morning's crescent Moon

The Moon on January 16th. I've highlighted several features including the dark-floored crater Grimaldi, which you can use to guide you to several Mare Orientale basin rings. Also highlighted are the brilliant rayed crater Byrgius, Marius, and the rich field of volcanic domes called the Marius Hills. Schickard is one of the Moon's larger craters at 141 miles across. Click to enlarge.
Left: Virtual Moon Atlas (Christian Legrand and Patrick Chevalley), right: NASA

Saturn and the Moon would seem reward enough for any intrepid dawn observer, but there's more. Drop just 1° below Saturn and you'll bump right into Beta (β) Scorpii, the southern version of the Big Dipper's Mizar. Both are among the prettiest double stars in the sky. Beta, or Graffias, shines at magnitude 2.6 with a 4.5 magnitude companion 13.6″ to the north-northeast. Both are radiant jewels like the summer season to which they belong; they split with ease in a 3-inch telescope.

A cozy couple double

This sketch nicely captures the appearance of Graffias in a small telescope.
Michael Vlasov

I could keep on going. The region is rich with globular clusters and additional double stars, but your fingers will be getting cold by now and the Sun will rise soon. Before you step back inside to thaw out, take a minute to look around at Lyra and Cygnus rising in the east, constellations that, along with Scorpius, herald the coming of summer. Soon enough winter will be behind us. Instead of the cold, mosquitoes will be doing the biting!

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